Paradoja del prisionero

[neb642]

Para mí la relación entre el conjunto de los naturales y el de los cuadrados no es butectiva, porque:

3 es natural y no es cuadrado

Por lo tanto todos los cuadrados son naturales, pero no todos los naturales son cuadrados.

Creo que es posible decir que hay tantos naturales como cuadrados (de hecho hay más)

Aunque no hay tantos cuadrados como naturales (el 3 no es cuadrado y sí natural)

Como dijo un usuario, creo que la paradoja se centra a tratar de hacernos pensar que por ser los dos conjuntos infinitos, tienen el mismo tamaño, no siendo así. El conjunto de los cuadrados estaría incluido dentro del de los naturales. Mientras que el de las raíces tendría el mismo tamaño que este último: aquí sí hay una relación biyectiva entre naturales y raíces.

Saludos

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En vez de butectiva quise decir biyectiva. Fue culpa del teléfono.

[homero-4to]

Como dijo un usuario, creo que la paradoja se centra a tratar de hacernos pensar que por ser los dos conjuntos infinitos, tienen el mismo tamaño, no siendo así.

la paradoja se da justamente por eso, pero tal como explicaron, realmente son 2 conjuntos del mismo tamaño, es decir de tamaño infinito. Por eso, yo propuse una solucion, para salvar esa paradoja que es la de representar conjuntos con contenido.

[solairam]

pregunta de alguien que realmente de esto (y de muchos otros temas) no sabe nada, dos conjuntos infinitos, no deben ser necesariamente iguales?, o de otra forma, hay infinitos más grandes o más chicos que otros infinitos?,

[homero-4to]

dos conjuntos infinitos tienen igual tamaño aunque no son iguales en contenido, esa es la paradoja, por eso una forma de resolverlo es mostrando diferencias por contenido de subconjuntos.

si vos hacés la resta de los 2 conjuntos infinitos te va a dar 0, es decir que te da iguales, sin embargo si sumás o restás subconjuntos salvás el problema llegando a un conjunto resultado no nulo.

[solairam]

muchas gracias!

[Kryptonyte]

Para mí la relación entre el conjunto de los naturales y el de los cuadrados no es butectiva, porque:

3 es natural y no es cuadrado

Estás confundiendo dos conceptos: el de correspondencia biunívoca (o biyectiva) con la pertenencia a un conjunto.
Por ejemplo, en una habitación donde hay 3 personas: Héctor, Alfredo y Ana, puedo establecer una correspondencia (o varias) entre estas personas y los números 1, 2 y 3. Ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad, pero por ejemplo el número 3 no está en ambos.
Imaginate ahora que los cuadrados de los números naturales son personas que se llaman Uno, Cuatro, Nueve, Dieciséis, etc., y te darás cuenta de por qué tu ejemplo con el número 3 no tiene aplicación.

Contesto otro tema: hay varias categorías de infinitos. La siguiente es la demostración de Georg Cantor de por qué los números reales son más que los naturales.
Supongamos que establecemos una correspondencia entre los números reales (en su representación decimal de infinitas cifras) con los naturales, por ejemplo ésta:
1 7.876543297683...
2 0.549960556782...
3 2.594338674965...
4 3.904533986543...
........................
Tomemos los dígitos de la diagonal:
7.594...
y reemplacemos cada dígito por uno distinto, por ejemplo:
5.016...

Ese número no puede estar en el conjunto de los anteriores, porque por lo menos tiene un dígito distinto de cada uno. Por lo tanto, no puede ponerse en correspondencia con ningún número natural, lo que contradice la hipótesis de que los irracionales son numerables.
Los racionales, en cambio, son numerables. Se pueden construir varios métodos de correspondencia entre los racionales y los naturales.

[neb642]

La correspondencia entre los números naturales y los cuadrados perfectos si es biyectiva.

Repasando la definición de correspondencia biyectiva (fuente wikipedia):

A bijection (or bijective function or one-to-one correspondence) is a function giving an exact pairing of the elements of two sets. Every element of one set is paired with exactly one element of the other set, and every element of the other set is paired with exactly one element of the first set. (There are no unpaired elements.)

Si al conjunto de los naturales le llamamos N, al de los cuadrados perfectos le llamamos C, la ccorrespondencia entre los dos sería esta:

1 ---- 1
2 ---- 4
3 ---- 9
4 ---- 16
5 ---- 25
etc.

Vemos que para esa correpondencia se cumplen todos los requisitos para que sea biyección: A cada elemento de N le corresponde solo uno de C, a cada elemento de C le corresponde solo uno de N y todos los elementos tanto de C como de N están involucrados en la correspondencia.

Yo no veo que sea una relación biyectiva entre el conjunto de los naturales y el de los cuadrados:

1 ---- 1
? ---- 2
? ---- 3
2 ---- 4
3 ---- 9
4 ---- 16

[Escamillo]

Neb, en tu ejemplo ni 2 ni 3 son cuadrados, es decir no pertenecen al conjunto C.
El conjunto N es 1,2,3,4,5,6,7...
Y el conjunto C es 1,4,9,16,25,36,49...
La biyección es entre los naturales y los cuadrados. Lo que marea un poco es que ambos conjuntos son infinitos, pero no quiere decir que todos los de N estén en C.