Paradoja del prisionero

[Kryptonyte]

La ciencia nos propone paradojas diversas. ¿Qué es una paradoja? La Real Academia Española nos lo dice, pero en este caso no ayuda mucho:


paradojo, ja.
(Del lat. paradoxus, y este del gr. παράδοξος).
1. adj. desus. paradójico.
2. f. Idea extraña u opuesta a la común opinión y al sentir de las personas.
3. f. Aserción inverosímil o absurda, que se presenta con apariencias de verdadera.
4. f. Ret. Figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción. Mira al avaro, en sus riquezas, pobre

El uso normal en lógica no es ninguno de los nombrados. Las paradojas lógicas son aserciones que no pueden demostrarse como verdaderas o falsas. El ejemplo típico es éste:
"Esta oración es falsa".
La oración, ¿es en realidad falsa o verdadera? Porque si es verdadera, por consiguiente es falsa. Y si es falsa, por consiguiente es verdadera.

Veamos por qué las definiciones de la RAE no contemplan, PARADÓJICAMENTE,
este ejemplo:
Definición 1, por desusada.
Definición 2, porque la gente no suele tener opinión sobre esta oración.
Definición 3, porque no es inverosímil ni absurda, y no tiene aspecto de verdadera.
Definición 4, porque sólo se aplica a la retórica.

Bien, ya tendremos tiempo de tratar otras paradojas, que las hay y muy interesantes e instructivas, pero hoy nos limitaremos a la Paradoja del Prisionero.

Hay un delincuente prisionero, que debe ser ejecutado. El juez ordena que la ejecución se concrete a las 8:00 un día de la semana que comienza un lunes y termina en el domingo siguiente; que se le comunique esto al preso, y que se le diga que no sabrá el día exacto de la ejecución.
Le dicen eso al preso. Como no tiene otra cosa que hacer, comienza a razonar. Piensa: "No puede ser el domingo, porque si el sábado a las 9 no me han ejecutado, yo sabría que el día señalado era el domingo".
"Pero si el viernes a las 9 no lo han hecho, yo sabría que tendría que ser el sábado, porque ya demostré que no puede ser el domingo".
Siguiendo así el razonamiento, concluye que, si se cumple lo que dijo el juez, no lo pueden ejecutar, y se queda tranquilo. Pero por ejemplo el miércoles a las 7:30 aparece el verdugo.

¿Qué solución tiene esta paradoja?

[Roberto1957]

El prisionero cometió un error de razonamiento:

"Pero si el viernes a las 9 no lo han hecho, yo sabría que tendría que ser el sábado, porque ya demostré que no puede ser el domingo".

Sólo cuando llegara el sábado podía saber que no podía ser el domingo, pero el día viernes no puede saber si lo ejecutarán el sábado o el domingo, el jueves no sabrá si lo ejecutarán el viernes, el sábado o el domingo, y así.
El error está en descartar el domingo si fuera viernes, y lo mismo con los demás días.

No sé si se entendió.

[Escamillo]

Satamente, está extrayendo una conclusión de una premisa falsa.
En la paradoja de Galileo, el error está en:

Conclusión: hay tantos cuadrados como números naturales en total, lo cual es paradójico, pues no todos los números son cuadrados.

Conclusión inatingente, porque el hecho de que haya tantas raíces como cuadrados (cierto) y que haya tantas raíces como números naturales (cierto), no quiere decir que haya tantos cuadrados como números naturales. No tiene sentido hablar de "tantos como" cuando el conjunto es infinito. Un contraejemplo fácil es el nro. 3, que es raíz, pero no cuadrado de ninguno.

[Kryptonyte]

Satamente, está extrayendo una conclusión de una premisa falsa.
En la paradoja de Galileo, el error está en:

Conclusión inatingente, porque el hecho de que haya tantas raíces como cuadrados (cierto) y que haya tantas raíces como números naturales (cierto), no quiere decir que haya tantos cuadrados como números naturales. No tiene sentido hablar de "tantos como" cuando el conjunto es infinito. Un contraejemplo fácil es el nro. 3, que es raíz, pero no cuadrado de ninguno.

Podemos establecer una correspondencia biunívoca entre los números naturales y sus cuadrados. Por lo tanto, hay igual cantidad de naturales que de cuadrados: infinitos. En la paradoja de Galileo no hay error; es una de las tantas paradojas del infinito.
Con respecto a la del prisionero, la solución propuesta parece la más lógica, pero no estoy seguro.

[Escamillo]

Entre cualquier natural y su cuadrado hay correspondencia biunívoca. Lo que no podemos es encontrar una correspondencia biunívoca entre cualquier natural y su raíz, creo que ese es un error concreto ya sea que el conjunto sea finito o infinito..

[Kryptonyte]

Entre cualquier natural y su cuadrado hay correspondencia biunívoca. Lo que no podemos es encontrar una correspondencia biunívoca entre cualquier natural y su raíz, creo que ese es un error concreto ya sea que el conjunto sea finito o infinito..

La paradoja de Galileo en la firma de uno de los usuarios está formulada así (no sé si es la original de Galileo):

"Paradoja de Galileo:
Llamemos cuadrados a aquellos números que se obtienen multiplicando un número natural por sí mismo: 1, 4, 9, 16...
A los números que los generan los llamaremos raíces. Así, 1 es raíz de 1, 2 es raíz de 4, 3 es raíz de 9, 4 es raíz de 16...
.........................."

Notá que Galileo llama "raíces" sólo a dichos números naturales (o sea todos). Galileo no introduce el concepto de raíz irracional. La correspondencia biunívoca se da sólo entre los naturales, a los que en este caso también llama raíces, y sus cuadrados.
Galileo dice que todo cuadrado tiene su raíz, no que todo número natural tenga su raíz en el dominio de los naturales.

[Escamillo]

La conclusión sería que hay infinitos cuadrados, e infinitos nros. naturales, que cada cuadrado tiene su raíz en N y cada raíz tiene su cuadrado en N, y punto. Decir que hay "tantos como" es inatingente tratándose de conjuntos infinitos. Me parece que hay algo raro en la expresión de la paradoja.

[derviche]

La conclusión sería que hay infinitos cuadrados, e infinitos nros. naturales, que cada cuadrado tiene su raíz en N y cada raíz tiene su cuadrado en N, y punto. Decir que hay "tantos como" es inatingente tratándose de conjuntos infinitos. Me parece que hay algo raro en la expresión de la paradoja.

Los conjuntos se pueden comparar aunque sean infinitos. El error de Galileo consiste en suponer que el conjunto de los numeros naturales y el de los cuadrados son iguales porque ambos son infinitos y no es así. En el conjunto de los "cuadrados de N" faltan todos los números que no tienen raíz entera, como los números primos, p.ej, y que el conjunto de los N sí incluye, por lo tanto nunca pueden ser iguales.

[homero-5to]

paradoja del prisionero:
no es un error el decir que no puede ser el Domingo, es el único día que queda excluido de forma expresa por el enunciado
el razonamiento es siempre válido y no tiene solución, porque la respuesta del prisionero es siempre la misma y es la de decir el dia anterior "se que mañana me ejecutan" lo cual hace que se de la paradoja. Es similar al cartel "hoy no se fia mañana si".

lo de galileo, el que quiera que use indeterminaciones...
tenemos 3 conjuntos y todos son infinitos.
los naturales son infinitos, los cuadrados son infinitos y los no cuadrados tambien lo son.

si se resta cualquiera de cualquier otro daría 0, sin embargo si se obvia el valor infinito y se expresa como conjuntos, los N contienen a los cuadrados y no cuadrados por lo tanto si se resata a N los cuadrados da un conjunto no vacío que implica que N es mayor que el conjunto de los cuadrados.