Sorprendente rechazo de un matemático ruso

[Sabian]

Bueno primero imaginalo para una topología plana. Agarra el espacio euclídeo, dibuja una circunsferencia del radio que vos quieras centrada en el origen. Bueno ahora tenes que reducir esa circunsferencia a un punto (deformandola obviamente, pero sin que deje de ser continua). Es bastante fácil de ver que si tu conjunto fuera el plano real menos el origen, deformar la circunsferencia a un punto sin perder continuidad en ningún momento es imposible. En ese caso estás ante un conjunto que NO es simplemente conexo. Por el contrario, si tuvieras el plano real sin agujeritos digamos, siempre vas a poder deformarla a un punto.

Analogamente podés hacerlo para el espacio euclídeo R^3. Ahora suponete que tenés una circunsferencia que encierra al eje z. Si el eje z no está incluido en tu conjunto, nunca vas a poder reducir esa circunsferencia a un punto, pero en cambio, si falta solo un punto sobre el eje z sí, pues basta con "hacer subir o bajar" tu circunsferencia hasta evitar la discontinuidad y ahí podes deformarla hasta tener un punto.

Bueno ahora en topología esférica, el caso de la esfera corresponde al plano R^2 , pues si te imaginas parado sobre una esfera, con solo dos coordenadas describis cualquier punto. Así la 3-esfera, sería la deformación del espacio R^3, solo que no es concebible graficamente. La idea de la conjetura (ahora Teorema) de Poncairé es ver como lográs deformar una curva contínua sobre esa superficie a un punto.

Espero haberte ayudado con lo poco que sé. No soy un conocedor del teorema porque mi formación matemática en topología es poca, así que reitero, si alguien que sepa realmente puede marcarme mis errores sería buenisimo.

Saludos

[Sabian]

Agrego, porque me comí una parte importante. El Teorema no propone eso, lo que propone el Teorema es que es la única variedad compacta con esa propiedad. Es decir, de todas las "superficies" (creo que sería hiper-superficies) cerradas, diferenciables, de 3 dimensiones (3 coordenadas independientes), la 3-esfera es la única simplemente conexa (toda curva cerrada se puede deformar a un punto).

Ahora sí, llegué a mi techo. Si alguien sabe que siga aclarando el panorama.

Saludos

Ahora que me pongo a pensar, por qué un elipsoide no es simplemente conexo? (ya que es una "generalización" de la esfera).

[johannsgilmour]

Esas son las personas que necesita el mundo.