Seno y coseno de un angulo... como se calculan

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      • 25/06/06
    • Mono Con Navaja
    #1 Seno y coseno de un angulo... como se calculan

    Hola, estoy estudiando numero complejos y no pude seguir ya que no puedo matar mi duda que me come la cabeza...

    Como se calculan el Seno y el Coseno...
    Osea, claro esta que Seno es Opuesto sobre Hipoenusa, y coseno Adyacente sobre Hipotenusa...
    Pero, como se hace eso en correlacion al angulo que pertenece...

    Porque con 45 grados, ambos catetos son iguales, entonces mediante pitagoras se puede calcular el largo de los catetos en una circunferencia de de radio 1


    osea:
    sen = x
    cos = x
    1=sqrt(x^2+x^2) => 1/sqrt(2) = x

    Pero con otros angulos????? 1=sqrt(x^2+y^2)
    y por trigonometria no puedo sacar el largo del seno u coseno, porque justamente eso es lo que uso para sacar los largos de los catetos...

    le estuve dando muchas vueltas y no se me ocurre nada... y la wiki esta muerta ahora.

    Alguien me ilumina para que me pueda seguir concentrando en estudiar????

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    38 comentarios / 332780 Visitas

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    14/06/2007
    #2 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan

    esto es a grandes razgos y aclaro q no mu gusta casi las matematicas.

    el seno como el coseno son dos funciones sinusoidales (su representacion grafica es una sinusoide) que oscilan entre -1 y 1 (son acotadas). ahora bien la sinusoide es similar a una onda la cual tiene nodos y vientres (el nodo es el punto en q la funcion vale o y el vientre es la "panza" de la sinusoide).
    si te fijaes el seno de 0 es 0, el seno de PI es 0, el de 2PI es 0 y asi sucesivamente ...en gral: el seno de kPI es 0 (k un real entero) . al reves ocurre con el coseno que en todos los puntos que dije antes es 1.
    ahora cuando vos hablas de una circunferencia de referis a 2PI radianes, o sea:
    2PI = 360º
    PI = 180º
    PI/2 = 90º y asi podes seguir calculando usando regla de 3.
    entonces cuando hablas de "una vuelta" (o sea una circunferencia) completa estas hablando en el grafico de las funciones seno y coseno de un ciclo de la sinusoide (osea: nodo-vientre-nodo-vientre-nodo) se entiende (punto-panza arriba-punto-panza abajo-punto).
    y como las funciones seno y coseno estan defasadas entre si en PI/4, si ves las dos graficas superpuestas ves que en para PI/4 el seno y el coseno valen lo mismo, es decir que en PI/4 se interceden las graficas de ambas funciones....y como dijimos que es una funcion periodica (no se si es el termino correcto) entonces en gral podemos decir que para todo los angulos

    (kPI)/4 el seno y el coseno van a valer lo mismo. creo que el valor es (raiz de 2)/2

    bueno espero que se entienda...cualquier cosa volve a preguntar
    qdo demostrada mi prescindecia pedagogica.
    saludos!

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    14/06/2007
    #3 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan

    No entendí muy bien lo que preguntás. Creo que lo que querés saber es cómo sacar los valores de los lados de un triángulo, ya sea rectángulo, isósceles o escaleno. Para ésto existen la ley del seno y la ley del coseno (también está la de las tangentes pero es más difícil que estas dos). La más fácil es la del seno. Suponete que tenés un triángulo cualquiera con lados a, b y c. Y sus ángulos son A, B y C, donde A es el ángulo opuesto (o en frente) al lado a, y así sucesivamente. La ley dice que a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C) = 2R (R es el radio de la circunferencia circunscripta al triángulo), o lo que es lo mismo: sen(A)/a = sen(B)/b = sen(C)/c. La ley del coseno es más difícil de recordar: a^2 = b^2+ c^2 - 2bc*cos(A). Ley de las tangentes (más difícil todavía): (a-b) / (a+b) = tan[(A-B)/2] / tan[(A+B)/2].

    Con respecto a los valores del seno o del coseno hay una tabla que es muy útil.

    _______ 0° 30° 45° 60° 90°
    seno ___________________
    coseno__________________

    Para completar la tabla hacés (de izquierda a derecha): para la fila del seno ponés 0, 1, 2, 3 y 4, sacás la raíz cuadrada y lo dividís por 2. Para el coseno ponés 4, 3, 2, 1 y 0, raíz y dividís por 2. Por ejemplo, el seno de 60° es raíz(3)/2 y el coseno es raíz(1)/2 ó 0,5.
    La tangente es seno/coseno.
    Después lo que tenés que saber es pi radianes = 180°. Con eso, hacés regla de 3 simple y lo usás para pasar de grados a radianes o viceversa. Ej.: 30° = (30*pi/180) radianes.
    Otra cosa que se usa mucho es la circunferencia de radio unitario. Agarrás unos ejes coordenados, hacés una circunferencia unitaria centrada en (0;0). El seno es la coordenada "y" y el coseno es el valor x. Ejemplo, quiero saber seno y coseno de 630°. Hago una vuelta entera (360° = 0°) mas 270°, lo que es igual a 270°. Entonces giro 270° a partir del eje x y marco el punto en la circunferencia. El punto que te queda está en (0;-1), por lo tanto cos(630°)=0 y sen(630°)=-1.
    NOTA: girás en sentido en contra de las agujas del reloj.
    Podés girar a favor de las agujas del reloj, pero en este caso lo que girás es negativo. Ejemplo, si girás 270° a favor de las agujas del reloj es igual a decir -270°, pero si te fijás en el círculo, el punto en el que quedás es igual a girar 90° en contra de las agujas del reloj (es decir que sen(-270)=sen(90) y cos(-270)=cos(90))

    No sé si preguntabas ésto pero bueno, si necesitás otra cosa chiflá...
    Saludos.

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    • Mono Con Navaja
    14/06/2007
    #4 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan

    Gracias Kluster, sabía que venía por el lado de las funciones del seno y el coseno... pero no se me ocurría como... tendré que esperar a cursar análisis entonces...

    Cita Escrito por negro86 Ver mensaje
    Con respecto a los valores del seno o del coseno hay una tabla que es muy útil.

    _______ 0° 30° 45° 60° 90°
    seno ___________________
    coseno__________________

    Para completar la tabla hacés (de izquierda a derecha): para la fila del seno ponés 0, 1, 2, 3 y 4, sacás la raíz cuadrada y lo dividís por 2. Para el coseno ponés 4, 3, 2, 1 y 0, raíz y dividís por 2. Por ejemplo, el seno de 60° es raíz(3)/2 y el coseno es raíz(1)/2 ó 0,5.
    La tangente es seno/coseno.
    Después lo que tenés que saber es pi radianes = 180°. Con eso, hacés regla de 3 simple y lo usás para pasar de grados a radianes o viceversa. Ej.: 30° = (30*pi/180) radianes.
    Otra cosa que se usa mucho es la circunferencia de radio unitario. Agarrás unos ejes coordenados, hacés una circunferencia unitaria centrada en (0;0). El seno es la coordenada "y" y el coseno es el valor x. Ejemplo, quiero saber seno y coseno de 630°. Hago una vuelta entera (360° = 0°) mas 270°, lo que es igual a 270°. Entonces giro 270° a partir del eje x y marco el punto en la circunferencia. El punto que te queda está en (0;-1), por lo tanto cos(630°)=0 y sen(630°)=-1.
    NOTA: girás en sentido en contra de las agujas del reloj.

    No sé si preguntabas ésto pero bueno, si necesitás otra cosa chiflá...
    Saludos.
    Si, eso ya lo sabía despues con la tabla, sumando y restando ángulos podés calcular los senos y cosenos de todos los ángulos (múltiplos de 5, claro)...

    A lo que yo voy... si yo te digo... cual es el seno de 30º (1/6 pi)... como sabés cual es???? sin tabla, sin calculadora, sin nada... ????
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    14/06/2007
    #5 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan
    Cita Escrito por XVAN Ver mensaje
    A lo que yo voy... si yo te digo... cual es el seno de 30º (1/6 pi)... como sabés cual es???? sin tabla, sin calculadora, sin nada... ????
    Yo uso la tabla. Me la armo en la mente y hago eso que te dije. Se complica si te preguntan por ej. el seno de 7°. ¿Preguntás si hay alguna especie de fórmula o qué? Para esos ángulos tan específicos sí o sí vas a tener que recurrir a la calculadora en algún momento, a no ser que busques una aproximación por medio de series u otros métodos.
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    • Mono Con Navaja
    14/06/2007
    #6 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan

    Tiene que existir alguna fórmula, sino las calculadoras no lo podrían hacer... vos decis que el seno de 30 es 1/2 porque alguien/algo alguan vez te lo dijo... pero no sabés por qué... calro que si lo dibujás queda cantado que el seno llega hasta la mitad del radio de la circunferencia sobre el eje de la y... pero nada te asegura que sea perfecto tu dibujo y de realmente eso... siempre sería una aproximación...

    (Che, y ya que te memorizaste la tabla, por que no avriguás a cuanto equivalen seno y coseno de 1 en notación radical, así ya completas la tabla y podes averiguar cualquier angulo ¿?

    (bah, al pedo, supongo que ya lo aprobaste :P)

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    14/06/2007
    #7 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan
    Cita Escrito por XVAN Ver mensaje
    Tiene que existir alguna fórmula, sino las calculadoras no lo podrían hacer... vos decis que el seno de 30 es 1/2 porque alguien/algo alguan vez te lo dijo... pero no sabés por qué... calro que si lo dibujás queda cantado que el seno llega hasta la mitad del radio de la circunferencia sobre el eje de la y... pero nada te asegura que sea perfecto tu dibujo y de realmente eso... siempre sería una aproximación...

    (Che, y ya que te memorizaste la tabla, por que no avriguás a cuanto equivalen seno y coseno de 1 en notación radical, así ya completas la tabla y podes averiguar cualquier angulo ¿?

    (bah, al pedo, supongo que ya lo aprobaste :P)
    jaja no no, la circunferencia no la dibujo... Jamás sacaría un valor así. La circunferencia la uso para saber signos (si es negativo o positivo) y relaciones.
    La tabla no la memoricé. Es bastante fácil armarla...
    Las calculadoras siempre usan aproximaciones. No hacen los cálculos en formas exactas sino con aproximaciones, por más buenas que sean esas aproximaciones.
    Supongo que para el seno y el coseno usarán aproximación por serie...
    Y con respecto a sacar el valor mediante ecuación podés usar por ejemplo [cos(x)]^2+[sen(x)]^2=1 y aplicás las identidades que se te ocurran para reemplazar el cos por el sen y ahí despejás...
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    14/06/2007
    #8 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan
    Cita Escrito por XVAN Ver mensaje
    Tiene que existir alguna fórmula, sino las calculadoras no lo podrían hacer... vos decis que el seno de 30 es 1/2 porque alguien/algo alguan vez te lo dijo... pero no sabés por qué... calro que si lo dibujás queda cantado que el seno llega hasta la mitad del radio de la circunferencia sobre el eje de la y... pero nada te asegura que sea perfecto tu dibujo y de realmente eso... siempre sería una aproximación...

    (Che, y ya que te memorizaste la tabla, por que no avriguás a cuanto equivalen seno y coseno de 1 en notación radical, así ya completas la tabla y podes averiguar cualquier angulo ¿?

    (bah, al pedo, supongo que ya lo aprobaste :P)
    las calculadoras usan el metodo de la tabla....y deben tener algun algoritmo (como por ejemplo usan tylor para aproximar funciones...usaran algun metodo para las trigonometricas) para determinarlo pero basicamente es la tabla.

    edit: cuando digo tabla me refiero a la tabla de los senos y cosenos (creo q tiene ese nombre) que es una tabla con un monton de angulos y sus respectivos senos y cosenos...
    cuando las calculadoras no eran tan sofisticadas se usaba eso...al igual que la tabla de integrales...la de derivadas y tantas otras q debe haber supongo.
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    14/06/2007
    #9 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan
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    Este teorema te permite aproximar cualquier funcion continua y n veces derivable al rededor de un valor x0 por una funcion polinomica de grado n, pudiendo aproximarte tanto como vos quieras a la funcion original, con solo tomar un n lo suficientemente grande.

    Una "debilidad" del teorema de taylor es que los coeficientes del polinomio dependen del valor que tomen la funcion original y sus derivadas en el valor en el cual nos estamos centrando, el x0. Y al calcular nuestro valor aproximado, para x0 va a dar igual a la funcion original, y a medida que nos alejemos de x0 el error va a ser mayor. Lo mejor es escojer valores para x0 en los que la funcion original y sus derivadas sean faciles de calcular. Pero esto nos obligaria a tomar valores de n altos para poder calcular con errores pequeños valores muy alejados de estos puntos "faciles". Por suerte las funciones trigonometricas son periodicas, por lo que no necesitamos tomar un n muy grande para abarcar un intervalo de "longitud" mayor o igual a 2pi, lo que nos permite calcular los valores para cualquier real.

    Antes de seguir con lo practico, termino con la teoria bien: Otra cosa que el teorema dice es que no solo el error se hace mas chico a medida que n aumenta, sino que tiende a 0 (en realidad hacen falta algunas condiciones mas para esto, pero las funciones trigonometricas las satisfacen). Por lo tanto, si construimos la funcion hipotetica correspondiente al polinomio de grado infinito, obtendriamos una funcion identica a la original. Poniendo esto en terminos de series, llegamos asi a una nueva definicion de las funciones trigonometricas.
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    No se asusten si no lo entienden: Es una suma infinita de terminos. Cada termino corresponde al monomio de grado n, y n va desde 1 hasta infinito. Esto representa al polinomio de grado infinito. Van a ver que, sin embargo, hay coeficientes que no aparecen. En el seno solo estan los impares y en el coseno solo los pares. Eso sale de que estos polinomios estan centrados en el 0. Aparte:
    * sen(0) = 0 y cos(0) = 1.
    * sen(x)' = cos(x) y cos(x)' = -sen(x).
    Pueden ver que el termino "Derivada n-sima de f, evaluado en 0" es una serie repetida de "0,1,0,-1" que empieza con 0 para el seno y con 1 para el coseno. Como este termino aparece en la formula de taylor para cada monomio, los que terminan multiplicados por 0 no aparecen, y por eso solo tenemos la mitad de los coeficientes, de 2 en 2, y con sus signos alternados.

    Bueno, volviendo a lo practico: Queremos abarcar todo el intervalo (-pi, pi). Podemos obtener funciones centradas en un punto dado cuya precision disminuye al alejarnos de este centro. Para empezar nos centramos en el 0. Para n=5 obtenemos esto:
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    Bastante lindo, pero hacia los bordes se va alejando... Si seguimos aumentando n vamos a poder acotar el error a nuestras necesidades.
    Pero esto no es lo unico posible: Tambien hay otros puntos "faciles" para escojer como x0, que serian los de la forma i*pi/6 y j*pi/4 con i y j enteros. Para estos puntos, que incluyen el 0, el seno y el coseno toman valores "bien definidos" (0, 1/2, raiz(2)/2, raiz(3)/2, 1, para el seno de 0, pi/6, pi/4, pi/3 y pi/2 respectivamente). Quiza las dos raices no parezcan "bien definidas", pero como son constantes tabuladas, podemos hardcodearlas en nuestro algoritmo trigonometrico con la presicion necesaria para no afectar el error del resultado final. En fin, podemos construirnos varias funciones con n pequeño centradas en distintos puntos del intervalo (-pi,pi) para poder calcular cualquier valor en este intervalo con el error acotado.
    Nuestro calculo final al momento de calcular el seno de un angulo seria:
    1) Pasar el angulo a su "equivalente" en el intervalo (-pi,pi)
    2) Escojer cual de mis funciones aproximadas uso [me fijo cual tiene el "centro" mas cercano al angulo]
    3) Calcular esa funcion en ese angulo. Para esto solo necesitamos calcular potencias del angulo. El resto de los parametros de la formula de taylor (inclusive los factoriales) podemos tenerlos precalculados y leerlos directamente, ya que n es pequeño y no son muchos numeros.

    En fin, Taylor no es la unica forma de aproximar una funcion por otra mas "facil" de calcular, y dependiendo de las necesidades particulares de cada caso se puede ser bastante "libre" al momento de armar nuestro algoritmo trigonometrico...

    K
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    14/06/2007
    #10 Re: Seno y coseno de un angulo... como se calculan
    Cita Escrito por Kremar Ver mensaje
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    Este teorema te permite aproximar cualquier funcion continua y n veces derivable al rededor de un valor x0 por una funcion polinomica de grado n, pudiendo aproximarte tanto como vos quieras a la funcion original, con solo tomar un n lo suficientemente grande.

    Una "debilidad" del teorema de taylor es que los coeficientes del polinomio dependen del valor que tomen la funcion original y sus derivadas en el valor en el cual nos estamos centrando, el x0. Y al calcular nuestro valor aproximado, para x0 va a dar igual a la funcion original, y a medida que nos alejemos de x0 el error va a ser mayor. Lo mejor es escojer valores para x0 en los que la funcion original y sus derivadas sean faciles de calcular. Pero esto nos obligaria a tomar valores de n altos para poder calcular con errores pequeños valores muy alejados de estos puntos "faciles". Por suerte las funciones trigonometricas son periodicas, por lo que no necesitamos tomar un n muy grande para abarcar un intervalo de "longitud" mayor o igual a 2pi, lo que nos permite calcular los valores para cualquier real.

    Antes de seguir con lo practico, termino con la teoria bien: Otra cosa que el teorema dice es que no solo el error se hace mas chico a medida que n aumenta, sino que tiende a 0 (en realidad hacen falta algunas condiciones mas para esto, pero las funciones trigonometricas las satisfacen). Por lo tanto, si construimos la funcion hipotetica correspondiente al polinomio de grado infinito, obtendriamos una funcion identica a la original. Poniendo esto en terminos de series, llegamos asi a una nueva definicion de las funciones trigonometricas.
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    No se asusten si no lo entienden: Es una suma infinita de terminos. Cada termino corresponde al monomio de grado n, y n va desde 1 hasta infinito. Esto representa al polinomio de grado infinito. Van a ver que, sin embargo, hay coeficientes que no aparecen. En el seno solo estan los impares y en el coseno solo los pares. Eso sale de que estos polinomios estan centrados en el 0. Aparte:
    * sen(0) = 0 y cos(0) = 1.
    * sen(x)' = cos(x) y cos(x)' = -sen(x).
    Pueden ver que el termino "Derivada n-sima de f, evaluado en 0" es una serie repetida de "0,1,0,-1" que empieza con 0 para el seno y con 1 para el coseno. Como este termino aparece en la formula de taylor para cada monomio, los que terminan multiplicados por 0 no aparecen, y por eso solo tenemos la mitad de los coeficientes, de 2 en 2, y con sus signos alternados.

    Bueno, volviendo a lo practico: Queremos abarcar todo el intervalo (-pi, pi). Podemos obtener funciones centradas en un punto dado cuya precision disminuye al alejarnos de este centro. Para empezar nos centramos en el 0. Para n=5 obtenemos esto:
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    Bastante lindo, pero hacia los bordes se va alejando... Si seguimos aumentando n vamos a poder acotar el error a nuestras necesidades.
    Pero esto no es lo unico posible: Tambien hay otros puntos "faciles" para escojer como x0, que serian los de la forma i*pi/6 y j*pi/4 con i y j enteros. Para estos puntos, que incluyen el 0, el seno y el coseno toman valores "bien definidos" (0, 1/2, raiz(2)/2, raiz(3)/2, 1, para el seno de 0, pi/6, pi/4, pi/3 y pi/2 respectivamente). Quiza las dos raices no parezcan "bien definidas", pero como son constantes tabuladas, podemos hardcodearlas en nuestro algoritmo trigonometrico con la presicion necesaria para no afectar el error del resultado final. En fin, podemos construirnos varias funciones con n pequeño centradas en distintos puntos del intervalo (-pi,pi) para poder calcular cualquier valor en este intervalo con el error acotado.
    Nuestro calculo final al momento de calcular el seno de un angulo seria:
    1) Pasar el angulo a su "equivalente" en el intervalo (-pi,pi)
    2) Escojer cual de mis funciones aproximadas uso [me fijo cual tiene el "centro" mas cercano al angulo]
    3) Calcular esa funcion en ese angulo. Para esto solo necesitamos calcular potencias del angulo. El resto de los parametros de la formula de taylor (inclusive los factoriales) podemos tenerlos precalculados y leerlos directamente, ya que n es pequeño y no son muchos numeros.

    K
    descomunal....
    la verdad sos un animal!
    no sabia eso de q el sen/cos eran equivalentes a esas series!
    zarpado! en realidad no lo lei todo por q era muy largo y como dije arriba no me gustan las matematicas....
    pero si eso lo escribiste vos sos un groso man.
    sos matematico o algo de eso? o aficionado nomas?
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