Cómo "levantar" o reutilizar un cookie

El tema es así: Quiero que un archivo php alojado en mi server pueda acceder a una página alojada en otro server. El tema es que se necesita un usuario y clave. Yo tengo mi usuario y mi clave pero, a pesar de que estoy loggeado, el sitio no puede identificar que yo soy la misma persona que corre el script, entonces, debería, de alguna forma, "levantar" mi cookie de sesión con el script y "mostrársela" al sitio para que sepa que tengo acceso al sitio. Alguien sabe cómo se hace eso?