saben resolver este ejercicio?

[dr.no]

este ejercicio me lo tomaron hoy en el final de algebra 1

Sean A, B, C pertenecientes a R3, determinar el valor de t para que A, B,C sean coplanares

C = aA + bB + t(AxB)

a,b,t pertenecientes a los reales
AxB distinto del vector nulo ((AxB) producto vectorial de R3)

es todo suyo

[Gbardoglio]

Creo que una buena forma de resolverlo sería haciendo:
A=(x,y,z)
B=(f,g,h)

Para que A, B y C sean coplanares su producto mixto debe ser 0

(ABC)=0
(AxB).C=0
(AxB).(aA + bB + t(AxB))=0 (1)

Aca la intuición nos indica que pareciera que a y b podrían tomar cualquier valor y que t debería ser 0 porque AxB nos da un vector normal al plano que contiene a A y a B por lo que nos "sacaría" a C de ese plano.

Ahora, aca hay que hacer un poco de trabajo algebraico algo tedioso que es operar todo con las componentes simbólicas.
Yo lo trabajé un poco y llegué a algo que no recuerdo bien (porque dejé los borradores en casa) pero no creo que tengas mayores problemas. Era algo que, luego de las simplificaciones y factores queda como:

(AxB).(W)=0 (2)
[La verdad es que no recuerdo cual era la forma de ese vector, pero recuerdo que no contenía ni a "a" ni a "b" en sus componentes, sólo tenía a "t" y una mezcla de las componentes de A y de B]

Ahora bien si (1) y (2) son verdaderos, entonces W y (aA + bB + t(AxB)) deben ser paralelos y sus componentes, proporcionales. Por lo tanto:

w1/aA=w2/bB=w3/t*(AxB)
[Donde w1,w2 y w3 son las componentes del vector W]

Tomando dos y resolviendo para t vemos, al menos para mí, que t=0

Espero que te sirva, si llegas a tener algun problema o duda postea nomas que en cuanto pase por la casa de mi amigo (que gentilmente donó su tiempo de conexión para que pudiera enviarte esto) intentaré, con mucho gusto, ayudarte.

Un saludo

The Chosen one (MathWizard)

[dr.no]

muchisimas gracias The Chosen one (MathWizard)
era el producto mixto nomas
ese maldito ejercicio me mato el ego realmente no habia ejercicio
de vectores que no pudiera resolver salvo el del final ( parece una ley de murthy)

[martin2316]

noooooooo nooooooooo no puedo creer que alguien haya puesto un ejercicio como un tema y encima que alguien lo haya respondido, y eso del ego... vamos que falta de humildad pibe.

[lens]

es mas facil, t tiene que ser 0 porque si vos sumas dos vectores (A y B), la suma de los dos te va a quedar en el mismo plano que determinan los dos vectores, pero si le sumas el producto vectorial, el vector te queda por sobre el plano (porque el producto vectorial te da la norma del plano), por eso t tiene que ser 0

[ONA]

si.. es verdad.. lens tiene toda la razon.. era una simpleza.. jaja
a mi no se me habia ocurrido.. pero tiene logica..
si le sumas el producto vectorial entre a y b te da un vector perpendicular tanto a a como a b por lo q si lo sumas a cualquier escalar por a o por b te da fuera del plano...

[Gbardoglio]

Comentario para los que hicieron los últimos comentarios:

En principio quisiera recordarles que la matemática, desde Cauchy hacia aquí, se basa en demostraciones completas y rigurosas. Por lo que si alguien quiere afirmar algo de validez general, deberá demostrar tal válidez; después de todo, de eso se trata el algebra.
En segundo lugar, los invito a que vuelvan a leer la solución que propuse (A la que sólo pude agregarcele algo más de galantería mediante el uso de algunas propiedades, que preferí obviar en favor de un mejor entendimiento) en la que el hecho que refieren se encuentra perfectamente observado y el lector queda advertido de ello.

Atte.

The Chosen one

[ONA]

nadie dijo q lo habias hecho mal Newton....

solo que sabiendo un poquin de algebra y usando la cabeza se deducía como era...